글쓴이 : shrekandy

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구장산술
동양 수학의 기본은 「구장산술」 인데, 그 중심 개념은 음과 양인 '-, +' 이며, 일종의 대수학이다.
이것이 신라의 산학제도에는 「구장」 이라는 이름으로 반영되어 있다.
우리나라 역사책 중에서도 삼국사기가 가장 오래된 것이다.
김부식이 신라, 고구려, 백제 세 나라의 역사책을 중심으로 해서 중국의
전통적인 연대기의 수법(이른바 기전체)으로 고려대에 엮은 것이다.
그 내용은, 비록 후세의 편찬이긴 하지만 어떤 부분은 놀라우리 만큼
자세하게 기록되어 있다.
이것은 수학사 연구에 있어서도 중요한 역할을 한다.
그것은 산학 관계에도 퍽 구체적인 기록이 있기 때문이다.
그 중 가장 오래된 것은 신라 점해왕(제12대) 5년(A.D.251년) 때에
관한 기록이다.
한기부 사람 부도는 집안이 가난하지만 남에게 아첨함이 없고 공, 서,
산을 잘하여 이름이 났으므로 왕은 그에게 벼슬을 주고 물장고의 사무를
맡겼다.

신라본기
고연 부도가 가진 수학 지식이 어느 정도 였는지는 확실히 알 수 없지만
아마도 궁중의 회계일 을 맡아보는 데 적합한 지식이었을 것으로
추축 될 뿐이다.
'물장고의 사무'란 요즘말로는 재무장관 직이다.
그 후 500년이나 지나 서기 746년 신라 경덕왕 대에는 정식으로 국학제도
그러니까 오늘날의 국립대학 제도가 확립되었다.
고구려는 신라보다 훨씬 앞선 선진국이었으며, 국학제도는 신라보다
거의 400여년이나 먼저 서기 372년에 성립되었다.
백제에서는 서기260년(고이왕 26년)에 재산을 다루는 고장사 제도가
확립되었다.
이러한 사실로 미루어 보면, 옛 한국의 산술제도가 문헌에 남아있는
신라의 것보다도 실제로는 훨씬 고대로 거슬러 올라간다는 것을 알 수
있다.

신라의 교육제도
신라의 교육 제도에 관한 기록은 더욱 자세하다.
처음 신문왕 2년(A.D.682년)에 제도화된 국학을 경덕왕 때에 태학감으로
고쳤는데 거기에는 한 사람의 산학박사(요즘으로 치면 수학박사)와 조교가 배치되고, 교수 과목으로 철술, 구장, 삼개, 육장 등이 있었다.
이 중에서 '삼개', '육장'은 중국의 제도에는 없고, 다만 백제에서 건너 갔다고 믿어지는 일본의 산학 제도의 교과과정에 들어 있다.
특히 '육장'은 일본에서는 천문·역산을 맡는 관리의 교과서이기도 했다.
통일 전까지만 해도 백제의 문화는 대단했던 것 같다.
신라에서는 당시 동양에서 제일 규모가 큰 황룡사의 9층탑을 만들 때에 백제의 공인 아비지가 수많은 목수, 석공을 이끌고 와서 건축했을 정도로 백제 문화의 영향을 받았기 때문에 신라의 산학제도 그 중의 하나라고 믿어진다.
이런 점으로 미루어 생각할 때, 백제의 산학이 상당히 진보된 것임을 알 수 있고, 또 백제의 산학자들도 중국의 산학책을 그대로 사용한 것이 아니라 한반도의 실정에 알맞도록 재편집하였을 것으로 짐작된다.
특히 '철술'의 내용은 '무한급수의 문제를 이용한 일종의 해석학'이 들어 있으며, ㅠ의 값을 3.1415926 < ㅠ < 3.1415927 과 같이 놀라우리 만큼 정확하게 셈한 것이었다.
' 철술'의 내용이 너무나 고도로 이론적이어서, 현실적이고 구체적인 응용문제를 주로 다루는 동양수학의 전통에서는 아주 이례적인 것이었다
그래서, 중국에서는 이미 수나라 시대에 없어지고 말았으나, 우리나라에서는 고려 시대까지도 표준 산학의 교과서로 쓰여지고 있다.

고려 시대의 수학 시험
고려 시대때 수학 시험은 다음과 같은 식이었다.
"『구장산술』 의 제 9장 10조를 외워 보시오."
소년은 자신 있는목소리로 외우기 시작했다.
암송이 끝나자 다른 시험관이 문제를 냈다.
"잘 했네. 그럼 다음 문제를 풀어 보게.
금 9꾸러미와 은 12꾸러미의 무게가 같은데 금 1꾸러미와 은 1꾸러미를
바꾸어 넣었더니 금의 무게가 30냥 가벼워졌네.
금과 은 1꾸러미의 무게는 각각 얼마가 되겠는가?"
이 문제는 우리 나라의 수학 기본 교과서라고 할 수 있는 "구장산술" 의
제 8장에 있는 문제이다.
바로 연립 방정식 문제인데, 우리가 요즘 푼다고 하더라도 좀 까다로운
문제라고 할 수 있다.
『구장산술』은 옛날에 가장 기본이 되는 수학책으로 앞서도 서술한
바와 같이 수학을 공부하려면 꼭 보아야 했다.
산사( 수학자)를 뽑는 시험에서 『구장산술』 내용이 그대로 나왔으니까
특히 수학 시험을 치르기 위해서는 암기하다시피 공부해야 했다.
그래서 산서들은 산경이라고 불릴 만큼 중요했다.
그러다 보니 경전 외우듯 암기하는 것은 당연한 일이었다.
조선 시대 때 정인지, 김종서 등이 지은 고려 왕조의 기전체 역사책
『고려사』를 보면 산학 시험에 대한 기록이 나와 있다.
3일 동안 산경을 접어서 시험을 본다.
첫날에는 『구장산술』의 제 9장 10조를 접어서 암기 시험을 보고,
다음 날은 제 6장을 접어 그 일부를 암송시킨다.
그 다음날은 여섯 문제를 푸는데 네 문제를 통과해야 한다.
"이 기록만 보더라도 『구장산술』이 얼마나 중요한 수학책이었는지
알 수 있다.
수학은 그 시대의 사회를 반영하고 있다.
옛날 수학은 실용 과학으로 그 사회의 모습을 나타낸다고 할 수 있다.
그러면 『구장산술』을 통해 고대 사회의 모습을 살펴보는 것도 가능하다
고대 사회는 농업 중심의 사회였다. 그래서 가장 중요한 것이 토지였고,
토지에서 나오는 생산물의 정확한 측정과 또 그것을 통해 세금을
부과하는 문제가 중요시 되었다. 그래서 토지 측량은 고대 사회에서
가장 기본이 되는 일이었으며, 정확한 토지 측량을 위한 지침이 있어야
했다.
토지 측량과 관련해서 『구장산술』에 나오는 몇 가지 문제를 보면
다음과 같다.

*문제
지금 원형의 밭이 있다.
주위의 길이는 30보, 직경이 10보라고 할 때 밭의 넓이는 얼마인가?
(『구장산술』 제 1장 방전)

답: 75보

*문제
폭이 1보 반이 밭의 넓이를 1무(240보)로 만들고 싶다.
길이는 얼마로 하면 좋을까?(『구장산술』제4장 소광)

답:160보

삼국시대 때 산사가 맡은 가장 중요한 업무도 토지를 정확히 측정하고
세금을 공평하게 받아들이는 일이었다.
경지 면적이 곧 수확량과 연결되고 또 세금과 결부 되므로 토지 측량은
농업 사회의 가장 기본이 되는 일이다.
그래서 역대 왕들은 토지 제도 정비에 온 힘을 기울였고 따라서
『구장산술』에서도 토지 측량을 제 1장에서 가장 먼저 다루게 된다.
그래서 『구장산술』을 보면 그 사회가 어떤 사회이고, 사회의 중요한
문제들이 무엇인가를 알 수 있다.

조선시대 수학자 홍정하
우리는 한번쯤 "우리 나라에도 수학자가 있었을까?" 하는 의문을 가진다.
수학책에 나오는 정리나 공식들은 모두 피타고라스니 오일러니
파스칼이니 하는 외국 수학자들이다. 그러나 우리 나라에도 수학하는
사람들이 많았다.
우선 조선시대 수학자이자 실학자인 '홍정하' 라는 수학자가
중국의 유명한 수학자와 수학에 관한 대결을 벌인 이야기를 보자.
흥미로운 이야기는 홍정하가 지은 『구일집』 이라는 책에 전해오고 있다
수학책 『구일집』 은 천, 지, 인 등의 8권과 부록으로 구성되어 있다.
1684년에 태어난 홍정하는 조선시대 숙종과 영조 때의 수학자이다.
홍정하는 대대로 수학을 하는 수학자 집안에서 자랐다.
수학자 집안이니 수학 공부를 더 쉽게 할 수 있었다.
요즘 같으면 집안이 대대로 수학을 했으니 학자 집안이었겠지만
그 당시 수학자들은 산학자로 불린 중인 계급으로 양반은 아니었다.
조선시대에는 산학 시험이라는 것이 있어서 이 시험에 합격해야
산학자가 되는 공인 수학자 제도가 있었다.
그 당시 유럽에서도 상인들이 셈을 전문으로 하는 '셈사'를 고용했는데,
셈사들은 그것이 직업이 되었다.
1713년 5월 29일 홍정하는 같은 수학자인 유수석과 함께 조선에 온
중국의 사력 하국주를 만나 수학에 대해서 이야기를 나누었다.
사력은 중국 천문대의 관직으로, 하국주는 천문과 역산에 밝았고
산학에도 뛰어난 실력자였다.
홍정하는 수학 공부를 위해서라면 누구라도 찾아가서 가르침을
받으려고 했다.
하국주와 홍정하의 만남은 요즘처럼 공식을 암기하고 문제 풀이나 하는
수학 공부와는 달리 대화를 하는 식이었다.
옛날에는 공부를 대화하는 식으로 했다. 그렇게 대화와 토론을 통해
생각의 부족함을 채우고 새로운 것을 발견하며 어려운 문제를 풀어
나가려 했다.
홍정하가 쓴 수학책 『구일집』 에는 수학의 대화가 소개되어 있다.
홍정하는 하국주를 만나 공손히
"아무것도 모르니 산학을 가르쳐 주십시오." 하고 말했다.
하국주는 문화 대국의 일류 학자인양 어깨를 우쭐대며
'이런 문제를 알겠가.'하는 얕보는 마음으로 문제를 냈다.

1. "360명이 한 사람마다 은1냥 8전을 낸 합계는 얼마나 되겠소?
그리고 은 351냥이 있소. 한 섬의 값이 1냥 5전 한다면 몇 섬을 구입할
수 있겠소?"

어릴 적부터 산학 문제를 풀면서 실력을 갈고 닦은 홍정하는
금세 답이 나왔다.

"앞 문제의 답은 648냥이고, 다음 문제의 답은 234섬이 되옵니다."

홍정하가 금방 문제를 풀자 하국주는 다음으로 도형 문제를 냈다.

"제곱한 넓이가 225평방자일 때 한 변의 길이는 얼마요?"

이 문제는 여러분도 모두 풀수 있을 것이다.

"제곱해서 225일 수는 15가 되니까 답은 15이지요."

홍정하는 이 문제도 맞추었다.
하국주는 또 문제를 냈습니다.

2. " 크고 작은 두 개의 정사각형이 있소.
두 정사각형의 넓이의 합은 486평방자이고, 큰 정사각형의한 변은
작은 쪽의 한 변보다 6자만큼 길지요.
두 정사각형의 각 변의 길이는 얼마가 되겠소?"

물론 이 문제도 홍정하, 유수석 두 수학자들은 모두 풀었다.
이렇게 모두 정답을 맞히자 옆에서 지켜 보고 있던 한 중국 사신이
홍정하의 실력을 얕잡아 보고 하국주의 체면을 살리려는 듯 말참견을
했다.
"사력은 계산에 대해서는 천하의 실력자요. 사력의 수학의 조예는
깊기가 한량이 없소. 여러분 따위는 도저히 견줄 바가 못되오.
사력은 많은 질문을 했는데 여러분도 그에게 문제를 내야하지 않겠소?"
이에 홍정하, 유수석 두 수학자는 다음과 같은 문제를 냈다.

3. "지금 여기에 공 모양의 옥이 있습니다. 이것에 내접한 정육면체의
옥을 빼놓은 껍질의 무게는 265근이고 껍질의 두께는 4치 5푼입니다.
옥의 지름과 내접하는 정육면체의 한 변의 길이는 각각 얼마입니까?"
이 문제를 듣고 하국주는 한참 고민하더니 이렇게 말했다.
"이것은 아주 어려운 문제요. 당장에는 풀지 못하지만 내일은 반드시
답을 주겠소."

그러나 하국주는 다음날에도 끝내 정답을 내놓지 못했다.
하국주의 참패였다.
홍정하는 정육면체의 한 변의 길이는 약 5치이고 옥의 지름은
약 14치라고 말해 주었다.
그리고 답 풀이를 해 주었다.
옥의 지름을 구하려면 구의 부피를 내는 공식을 알아야 하는데
홍정하는 구의 부피를



으로 하여 구했다.
오늘날 우리가 중학교 1학년 수학 시간에 배운 구의 부피를 내는 공식은




(r:구의 반지름)이다.
따라서 홍정하는 구의 부피를 내는 공식을 생각했고 하국주는 전혀
생각을 못했다.
이번에는 하국주가 어려울 것이라는 표정으로 문제를 냈다.

"지름이 10자인 원에 내접하는 정오각형의 한 변의 길이와 넓이는 각각
얼마요?"

그러자 유수석이 말했다.

"조선에는 아직 이런 학문이 없습니다. 어떤 방법으로 하는 것입니까? "

이에 대해 하국주는 보충 설명을 해 주었다.
원은 360도이고 정오각형의 꼭지각의 하나는 72도가 되는데 그 반인
36도에서 정현수(sine)의 값을 구하게 되오. "
하국주의 설명을 듣고 유수석은 다시 물었다.

"정현수는 어떤 방법으로 얻은 것입니까?"

"8선표가 있으면 그것으로 곧 값을 구할 수 있지만 일일이 계산하자면
매우 어렵기 때문에 여기서는 대답하기가 어렵소. "

여기서 8선표는 삼각함수표를 말한다.
홍정하는 하국주의 대답에 만족하지 않고 꼬치꼬치 캐물었다.

"이치가 아무리 심오하고 어려울지라도 배울 수 있습니다.
그 길을 알려 주십시오. "

홍정하의 열의에 하국주는

" 기하원본』 과 『측량전의』 두 책을 읽으면 이해 할 수 있소."

라고 대답했다.
유수석도 적극적으로 물었다.

"어떻게 하면 볼 수 있습니까?"

"중국에서 출발할 때 봉화성에 두고 왔소. 귀국하면 보내 드리겠소. "

잠시 뒤 홍정하가 말했다.

"우리 두 사람의 수학 실력은 어는 정도입니까?"

"두 사람의 실력은 상당하오.17~18문제 중 풀지 못한 것은 불과 두셋에
불과하지 않소?"

하국주는 자신이 쓴 『구고도설』 이라는 책을 보여 주었다.
이책은 서양의 피타고라스 정리와 같은 구고현의 정리를 이용한 문제들
이었다.
하국주가 내놓은 문제 가운데에서 고차 방정식의 문제가 있었는데
조선의 두 수학자는 그것을 '산목셈'으로 척척 풀었다.
산목셈이란 대나무 가지 같은 것으로 계산하는 계산기의 일종이었다.
하국주는 중국에는 이런 것이 없으니 가지고 돌아가서 모두에게 보이고
싶다고 했다.
하국주가 살았던 때의 중국에서는 이미 사라져 버렸고 조선에는 그대로
보존되어 있었다.
중국에서는 뒷날, 조선의 수학이 없었다면 이 부분에서 동양 수학의
명맥이 끊어졌을지 모른다고 말하기도 했다.
 
 
13세기경 중국 송(宋)나라 말엽부터 원(元)나라 초기에 걸쳐서 저술된 수학책 《산학계몽*(算學啓蒙)》, 《양휘산법(楊輝算法)》, 《상명산법(詳明算法)》이 조선 시대를 통틀어 수학과 관련된 관리를 양성하는 문제집이자 참고서로 이용되었다. 또 세계에서 유일하게 우리 나라에는 중인(中人)이라는 수학자 집단이 있었다.

또한,일본 수학은 임진란 이후 우리 나라에서 가지고 간 수학책을 기초로 해서 이른바 '화산'이라는 톡특한 일본 수학을 체계화시켰다